什么是多路搜索樹(shù)B樹(shù)和B+樹(shù)

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多路搜索樹(shù)

1. 完全二叉樹(shù)高度：O(log2N)，其中2為對數

2. 完全M路搜索樹(shù)的高度：O(logmN)，其中M為對數，樹(shù)每層的節點(diǎn)數

3. M路搜索樹(shù)主要用于解決數據量大無(wú)法全部加載到內存的數據存儲。通過(guò)增加每層節點(diǎn)的個(gè)數和在每個(gè)節點(diǎn)存放更多的數據來(lái)在一層中存放更多的數據，從而降低樹(shù)的高度，在數據查找時(shí)減少磁盤(pán)訪(fǎng)問(wèn)次數。

4. 所以每層的節點(diǎn)數和每個(gè)節點(diǎn)包含的關(guān)鍵字越多，則樹(shù)的高度越矮。但是在每個(gè)節點(diǎn)確定數據就越慢，但是B樹(shù)關(guān)注的是磁盤(pán)性能瓶頸，所以在單個(gè)節點(diǎn)搜索數據的開(kāi)銷(xiāo)可以忽略。

 B樹(shù)

B樹(shù)是一種M路搜索樹(shù)，B樹(shù)主要用于解決M路搜索樹(shù)的不平衡導致樹(shù)的高度變高，跟二叉樹(shù)退化為鏈表導致性能問(wèn)題一樣。B樹(shù)通過(guò)對每層的節點(diǎn)進(jìn)行控制、調整，如節點(diǎn)分離，節點(diǎn)合并，一層滿(mǎn)時(shí)向上分裂父節點(diǎn)來(lái)增加新的層等操作來(lái)來(lái)保證該M路搜索樹(shù)的平衡。具體規則如下：

1. 根節點(diǎn)的兒子樹(shù)個(gè)數在2到M之間，其他非葉子節點(diǎn)的兒子樹(shù)個(gè)數在M/2和M之間。如果兒子樹(shù)個(gè)數因為分裂超過(guò)了M則此時(shí)需要向上遞歸分裂父節點(diǎn)，當找到一個(gè)不需要再分裂的父節點(diǎn)則停止分裂。該分裂過(guò)程直到根節點(diǎn)，如果需要分裂根節點(diǎn)，則會(huì )產(chǎn)生兩個(gè)根，故需要創(chuàng )建一個(gè)新的根來(lái)將這兩個(gè)根作為兒子節點(diǎn)，此時(shí)樹(shù)的高度會(huì )增加1。

2. 每個(gè)非葉子節點(diǎn)的關(guān)鍵字的值從左到右依次變大，第i個(gè)關(guān)鍵字代表子樹(shù)i+1中的最小關(guān)鍵字；（其中對于根節點(diǎn)來(lái)說(shuō)i在1到（2到M）之間，其他非葉子節點(diǎn)則是1到（M/2到M）之間）；

3. B樹(shù)的所有數據項都存放到葉子節點(diǎn)，非葉子節點(diǎn)不存放數據，非葉子節點(diǎn)只存放用于指示搜索方向的關(guān)鍵字，即索引。這樣有利于將更多的非葉子節點(diǎn)加載到內存中，方便進(jìn)行數據查找；

4. 所有葉子節點(diǎn)都在相同的深度并且每個(gè)葉子節點(diǎn)包含L/2到L項數據。
   

 M和L的大小選擇

1. M為B樹(shù)的階數或者說(shuō)是路數

2. L為每個(gè)葉子節點(diǎn)最多存放的數據項個(gè)數

3. 在B樹(shù)中，每個(gè)節點(diǎn)都是一個(gè)磁盤(pán)區塊，所以需要根據磁盤(pán)區塊的大小來(lái)決定M和L。

 磁盤(pán)區塊大小與M的計算

1. 每個(gè)非葉子節點(diǎn)存放了關(guān)鍵字和指向兒子樹(shù)的指針，具體數量為：M階的B樹(shù)，每個(gè)非葉子節點(diǎn)存放了M-1個(gè)關(guān)鍵字和M個(gè)指向兒子樹(shù)的指針，故加入每個(gè)關(guān)鍵字的大小為8字節（如Java的long類(lèi)型就是8字節），每個(gè)指針為4字節，則M階B樹(shù)的每個(gè)非一葉子節點(diǎn)需要：8 * (M-1) + 4 * M = 12M - 8個(gè)字節。

2. 如果規定每個(gè)非葉子節點(diǎn)（磁盤(pán)區塊）占用內存不超過(guò)8K，即8192，則M最大為683，即683*12-8=8192。
   

 葉子節點(diǎn)數據項個(gè)數L

1. 假如每個(gè)數據項大小也是256字節，則由于磁盤(pán)區塊大小為8K，即8192個(gè)字節，而每個(gè)葉子節點(diǎn)可以存放L/2到L個(gè)數據項，所以每個(gè)葉子節點(diǎn)最多存放：8192/256=32個(gè)數據項，即L的大小為32。

2. 一棵5階的B樹(shù)的結構如下，即M和L等于5：其中每個(gè)非葉子節點(diǎn)包含最多M-1=5-1=4個(gè)關(guān)鍵字，包含M，即5個(gè)指向子樹(shù)指針。L等于5，則每個(gè)葉子節點(diǎn)最多存放5個(gè)數據項。
   

B+樹(shù)

B+樹(shù)結構跟B樹(shù)基本一致，唯一的區別是B+樹(shù)的葉子節點(diǎn)之間通過(guò)指針相連形成一個(gè)鏈表，故便于遍歷所有的葉子節點(diǎn)，即獲取所有或者搜索關(guān)鍵字某一范圍的所有數據項。的InnoDB存儲引擎就是會(huì )用B+樹(shù)作為索引實(shí)現。